Entiers naturels et division euclidienne - Niveau Terminale

Extraits

[...] On a en effet bien 11 × 2 − 3 × 7 = 22 − 21 = 1 3. a. D'apr`es l'´egalit´e on a : 11u + 7v = 1 ⇔ 7v = 1 − 11u On remplace dans et on obtient n0 = 7 − 22u . b. D'apr`es 11u + 7v = 1 ⇔ 11 = 1 − 7v On remplace dans et on obtient : n0 = 5(1 − 7v) + 49v = 5 − 35v + 49v = 5 + 14v Donc n0 = 5 + 14v . [...]

[...] En remarquant que 1399 = 2k + r2 : a. En d´eduire le reste de la division euclidienne de r par 5. b. En d´eduire le chiffre des unit´es de 1399 . Terminales Correction Feuille d'exercices Exercice 1 : 1. Le reste de la division euclidienne de n par 11 est 7 et le reste de la division euclidienne de n par 7 est 5. 7 et 11 sont des nombres premiers entre eux, par cons´equent le syst`eme admet une infinit´e de solutions. [...]

[...] Terminales k 11 × k 11 × k+7 44 484 45 495 46 506 47 517 48 528 49 539 50 550 51 561 49 502 513 524 535 546 557 568 Si k q = 491 = 7k ′ + 5. Donc 7k ′ = 486, d'o` Si k q = 502 = 7k ′ + 5. D'o` u 7k ′ = 497, donc k ′ = 71 et k ′ ∈ N. Si k q = 513 = 7k ′ + 5. Donc k ′ ≈ 72,57 et k ′ ∈ Si k q = 524 = 7k ′ + 5. [...]

[...] Entiers naturels et division euclidienne Niveau Terminale Terminales Feuille d'exercices Exercice 1 : On se propose de d´eterminer l'ensemble S des entiers relatifs n v´erifiant le syst`eme suivant : n ≡ 7[11] 1. Donner un ´el´ement de 2. On d´esigne par un couple d'entiers relatifs tel que : 11u + 7v = 1 Donner un exemple de couple d'entiers relatifs v´erifiant cette ´egalit´e. Dans les trois prochaines questions, on supposera u et v inconnus. On pose : n0 = 5 × 11u + 7 × 7v 3. [...]

[...] Exercice 3 : = 2 × 5 + 3 donc 13 ≡ Donc ≡ 399 24 Or = 34×24 × 33 = (34 ) × 33 De plus = 27 et 27 = 5 × 5 + 2 donc 27 ≡ Et 34 = 81 et 81 = 5 × 16 + 1 donc 81 ≡ 1[5]. Donc 399 ≡ × ≡ Donc 1399 ≡ Le reste de la division euclidienne de 1399 par 5 est 2. Terminales 2. a. 1399 ≡ 1399 ≡ r2 u ≡ Donc ≡ Donc = 5k + 2 = 2k ′ + 1 2k'=5k+1 1 2 2 3 Donc, 2k ≡ donc k ≡ 3[5]. [...]