Les fonctions génératrices

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Les fonctions génératrices

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Thèmes abordés

Fonctions génératrices, suite mathématique, suite convergente, récurrence, involution, bijection, partition, variable aléatoire, loi de probabilité

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Devoir corrigé de niveau licence composé de 7 questions-réponses sur l'utilisation des fonctions génératrices.

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Extraits

[...] On note pour tout La famille des forme une partition de l'ensemble des involutions de . On a une bijection entre l'ensemble et l'ensemble des involutions de car il existe une bijection entre les ensembles et l'ensemble des involutions de pour tout . On a . (car en bijection) et de même pour tout . On obtient donc : . Question 3 Donc on démontre facilement par récurrence que donc car pour tout . On a donc . Question 4 . On pose pour . On peut alors écrire que . [...]

[...] Initialisation : : OK Hérédité : : OK On a donc et la suite converge donc vers 0. De ce fait, et pour tout est bien défini. Question 5 Donc . Question 6 On pose . Donc . donc . On en déduit que . Question 7 On va montrer les résultats suivants par récurrence : et Note : on pourra écrire et ce qui est équivalent. Initialisation : : OK ; : OK Hérédité : car : OK L'autre égalité se démontre de la même façon. [...]

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