Analyse - Fonctions, intégrales, suites et séries numériques
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Thèmes abordés
Algèbre, valeur propre, vecteur propre, diagonalisation, polynôme, espace vectoriel, matrice diagonalisable, système d'équations, factorisation, algèbre linéaire, calcul matriciel, déterminant, équations linéaires, base de diagonalisation, Diagonalisation de matrices, valeurs propres distinctes, ordre de multiplicité, espace vectoriel de dimension 3, matrices carrées, propriétés des matrices, théorie des matrices, calcul de déterminant, résolution de systèmes d'équations, propriétés des valeurs propres, propriétés des vecteurs propres, matrices diagonalisables
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Résumé du document
Devoir de niveau licence composé de 4 exercices corrigés en analyse mathématique.
Sommaire
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
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Extraits
[...] Donc est convergente. 4. donc la série est divergente. donc et sont les termes généraux de séries géométriques convergentes. Donc est convergente. donc . D'où . Finalement . est le terme général d'une série divergente. Donc la série est divergente. 7. qui est le terme général d'une série de Riemann convergente. Donc est convergente. 8. qui est le terme général d'une série divergente. Donc la série est divergente. est le terme général d'une série de Riemann convergente. [...]
[...] Analyse - Fonctions, intégrales, suites et séries numériques Exercice 1 Exercice 1 Le polynôme caractéristique de vaut : En développant le déterminant par rapport à la dernière ligne, on trouve : est racine évidente. On peut donc factoriser par : Il y a donc trois valeurs propres : - Cherchons un vecteur propre associé à la valeur propre . Ce vecteur propre vérifie : . On doit donc résoudre le système de trois équations à 3 inconnues suivant : Soit : En ajoutant 2 fois la troisième équation à la deuxième équation, on trouve : , soit Ensuite, les trois équations nous donnent Ainsi, un vecteur propre associé à la valeur propre est : - Cherchons un vecteur propre associé à la valeur propre . [...]
[...] On a où est la matrice diagonale constituée des valeurs propres de . On calcule par la méthode de Gauss-Jordan : Donc . Par une récurrence on montre que : : Initialisation : : : OK Hérédité : : OK 4. On a le système matriciel suivant : . Donc Puis : Exercice 3 est le terme général d'une série de Riemann alternée convergente. Donc est convergente. 2. qui est le terme général d'une série de Riemann convergente. Donc est convergente. 3. qui est le terme général d'une série de Riemann convergente. [...]
[...] Donc est convergente. et donc d'où qui est le terme général d'une série divergente. Donc la série est divergente. Exercice 4 1. avec le terme général d'une série de Riemann convergente. Donc est convergente. qui est le terme général d'une série de Riemann convergente. Donc est convergente. 2. On décompose en éléments simples : donc , d'où . Donc . Donc . 3. et . [...]
