Espaces vectoriels - publié le 02/06/2024

Extraits

[...] En utilisant le théorème du rang on a Donc . On suppose que et . Pour tout , on a . En effet, si alors qui est élément de . On a donc . On suppose que , on en déduit que . Si on choisit une application telle que est bijective, alors on en déduit que , et donc d'après ce qu'on a montré précédemment. Il existe donc tel que et . Exemple (avec des matrices) : et . On a , et qui est bien inversible. [...]

[...] et dont des espaces vectoriels de dimension infinie. Pour trouver un supplémentaire de il suffit de trouver a priori un ensemble de fonctions de n'appartenant pas à . On peut prendre par exemple l'ensemble des fonctions constantes non nulles. En effet dans ce cas on aura donc . Ainsi un supplémentaire de dans est par exemple l'ensemble . Exercice 2 : Soit . Soit alors . Donc . Ainsi on a , donc . Soit , alors . Or , donc . [...]

[...] Soit . Alors pour , tel que , on a . Donc et ainsi (car On en déduit que , donc . Inversement, on suppose que et on va montrer que . Soit , alors . Pour on a donc , donc . Or , on a alors et donc , d'où . Ainsi . D'après on a toujours . On en déduit que . D'après le théorème du rang Etant donné que , on en déduit alors que . [...]