Une carrière, pour des raisons de complémentarité d'activités, souhaiterait assurer la commercialisation de sable lavé obtenu actuellement en produit secondaire, et de sable de rivière acheté à des sablières. La marge sur coût variable est évaluée à 12 € par m3 de sable de carrière lavé vendu 20 €, et 15 € par m3 de sable de rivière vendu 25 €. On peut admettre que les ventes de sable de carrière lavé sont réparties suivant une loi normale d'espérance mathématique 12 000 (m3) et d'écart type 1 000. De même, les ventes de sable de rivière sont réparties suivant une loi normale d'espérance mathématique 3 000 (m3) et d'écart type 200.
Le sable de carrière lavé et le sable de rivière sont des matériaux utilisés pour des travaux différents ; leurs ventes sont donc indépendantes.
Sommaire
Définir des lois de variable aléatoire mesurant le chiffre d'affaires
Définir des lois de variable aléatoire mesurant la marge sur coût variable
Probabilité de rentabiliser cette nouvelle activité
Limiter le budget des coûts de structure
Définir des lois de variable aléatoire mesurant le chiffre d'affaires
Définir des lois de variable aléatoire mesurant la marge sur coût variable
Probabilité de rentabiliser cette nouvelle activité
Limiter le budget des coûts de structure
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Extraits
[...] Var(CX)=(20)²?Var(X)=400*1 000²= 000 Donc, CX suit la loi normale 000) Définir la loi de la variable aléatoire mesurant le chiffre d'affaires du sable de rivière Soit Y la variable aléatoire représentant les ventes (en m³) de sable de rivière. Selon l'énoncé, Y suit une loi normale avec une espérance m³ et un écart type ?Y?=200 m³ : Y?N(3 000,2002) Le chiffre d'affaires du sable de rivière est donné par le prix de vente par m³ multiplié par la quantité vendue. Soit P'=25 ? [...]
[...] Pour limiter le taux de risque de ne pas rentabiliser la nouvelle activité à nous devons trouver le montant des coûts de structure C tel que la probabilité que la marge sur coût variable globale M soit supérieure à C soit de 95 En d'autres termes, nous cherchons C tel que : P(M>C)=0.95 Comme M suit une loi normale 000) nous cherchons la valeur de C correspondant au 5ème centile de cette distribution, car P(M?C)=0.05 D'après la table de la loi normale standard, le 5ème centile correspond approximativement à z=?1.645. [...]
[...] La variable aléatoire CY représentant le chiffre d'affaires est donc : CY=P'*Y=25Y Puisque Y?N(3 000,200²), la variable aléatoire CY suit une loi normale avec une espérance et une variance données par : E[CY]=25?E[Y]=25*3 000= ? Var(CY)=(25)²?Var(Y)=625*200²= 000 Donc, CY suis la loi normale : CY?N( 000) Définir la loi de la variable aléatoire mesurant le chiffre d'affaires total Le chiffre d'affaires total CCC est la somme des chiffres d'affaires des deux types de sable : C=CX+CY Puisque CX? et CY des variables aléatoires indépendantes et suivent des lois normales, C suit également une loi normale avec une espérance et une variance données par : E[C]=E[CX]+E[CY]=240 000+75 000= ? [...]
[...] Var(MY)=(15)²?Var(Y)=225*200²= 000 Donc, MY suit la loi normale : MY?N( 000) La marge sur coût variable globale La marge sur coût variable globale M est la somme des marges sur coût variable des deux types de sable : M=MX+MY Puisque MX et MY sont des variables aléatoires indépendantes et suivent des lois normales, M suit également une loi normale avec une espérance et une variance données par : E[M]=E[MX]+E[MY]=144 000+45 000=189 000? Var(M)=Var(MX)+Var(MY)= 000+ 000= 000 Donc, M suit la loi normale : 000) Pour calculer la probabilité de rentabiliser la nouvelle activité, nous devons déterminer la probabilité que la marge sur coût variable globale M soit supérieure aux coûts de structure fixés à Rappelons que la marge sur coût variable globale M suit une loi normale : 000) Nous voulons trouver la probabilité que M soit supérieure à Mathématiquement, cela se traduit par : P(M>170 000) Pour ce faire, nous standardisons la variable aléatoire M en utilisant la transformation de la variable normale standard : Où : - ?M=189 000 - 000)1/2 Nous cherchons donc : P(M>170 000)=P(Z>(170 000?189 369.32) =P(Z>?1.536) Donc, P(Z>?1.536)=1?0.062=0.938 Ainsi, la probabilité de rentabiliser la nouvelle activité est de : P(M>170 000)?0.938 Il y a donc environ de chances que la nouvelle activité soit rentable. [...]
[...] Probabilités et rentabilité : vente de sable Définir la loi de la variable aléatoire mesurant le chiffre d'affaires du sable de carrière lavé Soit X la variable aléatoire représentant les ventes (en m³) de sable de carrière lavé. Selon l'énoncé, X suit une loi normale avec une espérance m³ et un écart type 000m³ : 000²) Le chiffre d'affaires du sable de carrière lavé est donné par le prix de vente par m³ multiplié par la quantité vendue. Soit P=20 ? le prix par m³. [...]
