Problème mathématique - Une construction de la fonction exponentielle

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Problème mathématique - Une construction de la fonction exponentielle

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Thèmes abordés

Problèmes mathématiques, étude de fonctions, fonction exponentielle, exponentielle réelle, suite mathématique

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Ce problème a pour but une construction de l'exponentielle réelle, en s'interdisant toute utilisation des fonctions In et exp. Pour tout x réel et tout naturel non nul n, on note fn (x) = (1+x/n)^n. L'ensemble des réels x pour lesquels la suite (fn (X)) n?1 est convergente de limite non nulle est noté E et, pour tout x de E, on note f (x) la limite de la suite. Le but du problème est de prouver que E = R et que l'application f de R dans R qui à x associe f (x) est la fonction exponentielle...

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Extraits

[...] Problème mathématique - Une construction de la fonction exponentielle Soit fixé. Montrons par récurrence sur la propriété suivante : - Initialisation : Pour , on a : Donc est vraie. - Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un certain k appartenant à . On a alors : On obtient donc, en utilisant le propriété : Comme , on obtient : - Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel. On a : De plus : D'où : On reconnait dans les deux calculs les expressions de la question a). [...]

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