Suites et séries de fonctions - publié le 19/05/2025

Extraits

[...] Comme est -périodique et admet un développement en série de Fourier et ses coefficients sont notés alors on peut écrire que . On remplace dans l'équation de diffusion : et . On en déduit que . Donc . Donc car les exponentielles forment une base. Finalement avec . 3. Si alors donc avec . Comme est borné, alors on ne peut pas avoir , donc on a forcément , d'où . Si alors est solution d'une équation différentielle du second ordre. On note le polynôme caractéristique. On a : . Si alors . [...]

[...] Si alors donc . On peut regrouper les deux cas en notant , avec . Les deux racines sont complexes donc les solutions de l'équation différentielle sont de la forme : Sachant que , on a alors ce qui est impossible car est borné. On en déduit alors que . Finalement , avec des constantes. 5. On en déduit que la solution de l'équation de diffusion pour est : 6. Si , alors Pour , car est -périodique. Pour , Cas 1 : : Cas 2 : : Cas 3 : : En conclusion on a : pour 7. [...]

[...] Suites et séries de fonctions Exercice 1 : Séries entières 1. On pose , donc la suite admet une limite finie, et on a . Le rayon de convergence de la série est . 2. est le terme général d'une série de Riemann convergente. La série est donc convergente. Il y a donc convergence pour . De même la série est convergente, donc il y a convergence aussi pour . 3. Une série entière est a priori continue sur l'intervalle où est son rayon de convergence. [...]