Analyse mathématique - Équivalents

Extraits

[...] Ainsi, les points critiques de la fonction sont . On trouve alors que . Or on a , et . Ainsi, ces points critiques ne sont pas des extrema et la fonction n'en admet pas. Exercice 3 : On a les dérivées partielles suivantes : Je ne sais pas ce que sont et . On a : Donc : On a : On recherche soit . On obtient alors par injection donc de même ce qui donne finalement puis et . On obtient aussi alors par injection donc de même ce qui donne finalement puis et . [...]

[...] De même, on a car or la suite est décroissante et donc d'après le critère spécial des séries alternées la série associée converge et par critère d'équivalence, la série étudiée converge. Exercice 2 : Pour on a , a fortiori puis or d'après les séries de Riemann on sait que donc la série converge. On a , ainsi il vient directement . Comme cette suite tend vers0, il existe alors un rang en particulier tel que si on a et comme est non nul et positif il vient . [...]

[...] Finalement, on en déduit que pour tout, on a en sommant ces relation pour à (par linéarité de l'intégrale) : et comme et que (car sur cet intervalle) il vient ce que l'on doit démontrer soit : On a d'une part , d'autre part . De plus, on a le terme milieu qui vaut . On a et donc comme et . Ainsi, par encadrement on a soit par définition . Partie 2 : Exercice 1 : La fonction est continue partout sauf à l'origine de manière immédiate. Par passage en coordonées polaires on peut prendre et . Ainsi, on trouve . [...]

[...] On a donc montré que et est continue dans . On a imédiatement dérivable sur avec : On a de plus . Donc la limite des taux d'accroissement . Ainsi, la fonction est différentiable sur . De même le seul point délicat est en . On s'intéresse à la dérivée partielle par rapport à , on a donc . Pour ce qui est de celle en or on a donc on en déduit soit puis donc finalement . Alors . Et on a donc . [...]

[...] et par sommation des il vient . Enfin en utilisant la linéarité de la somme . De plus, on peut calculer la valeur de l'intégrale , on en déduit que donc . On veut tel que cherchon l'entier tel que , on trouve . Comme la fonction précédente on peut définir qui à associe qui est décroissante et donc réaliser de la même façon exactement le même développement qui aboutit à . En passant à la limite . On reconnait une forme soit l'intégrale ainsi on a . [...]