Arithmétique et problème de codage

Extraits

[...] Ainsi est négative pour . Or on a : car (démontré plus haut) Ainsi puis Des inégalités précédentes, on tire que la suite est décroissante et minorée, donc elle converge. On a : La suite est géométrique de raison et de premier terme On a : donc D'où : D'après la question on a : Ainsi, tend vers puis tend vers Exercice 3 Le plus petit des termes est le suivant : Le plus petit des termes est le suivant : Comme il y a termes, on déduit de la question précédente : En faisant tendre vers l'infini, on en déduit que la limite de la suite est L'algorithme ci-dessus cherche pour quelle valeur de la plus petite possible, la somme S (qui représente est strictement comprise entre et . [...]

[...] Arithmétique et problème de codage Exercice 1 On a : et A partir du rang la suite est une suite arithmétique de raison et de premier terme . On a : On a : On obtient : Représentation graphique : Le nuage de points obtenu semble suivre une demi-parabole. On peut conjecturer que va pouvoir se mettre sous la forme : où sont des réels On a : Les deux dernière égalités nous donnent : donc . On obtient ensuite : . Finalement : Montrons par récurrence que cette formule est toujours vraie : - Initialisation : Pour , on a bien - Hérédité : supposons la formule vraie à un certain rang . [...]

[...] Montrons par récurrence qu'on a : pour tout entier : - Initialisation : Pour , on a bien - Hérédité : supposons la formule vraie à un certain rang . On a alors : Or, d'après la première question, est croissante. De plus . Donc pour . On en déduit que puisque (hypothèse de récurrence) Comme , on a et . On obtient : Finalement - Conclusion : la formule étant vraie au rang et héréditaire, elle est vraie pour tout On déduit en particulier que : Posons maintenant . [...]