Les probabilités discrètes - Annales de Bac

Extraits

[...] On utilise alors la formule des combinaisons. Le nombre de tirages de 2 jetons parmis 10 vaut : 10 10 9 10 = 45 2 2 8 2 Tirer 2 jetons blancs parmi 10 jetons, est équivalent à en tirer 2 blancs parmis les 7 blancs du sac et à en tirer 0 noir parmis les 3 noirs restants. Il n'y a qu'une seule façon de ne tirer aucun jeton noir parmi les 3. Les tirages parmi les jetons noirs et parmi les jetons blancs sont indépendants, par conséquent le nombre de tirages de deux jetons blancs parmi 10 jetons est donné par le produit des combinaisons : 7 76 7 3 = 21 2 2 5 2 La probabilité demandée est le quotient des issues favorables à l'évènement B par le cardinal de l'univers : = 2 card(B) 21 3 7 7 card( ) 15 15 2021/2022 H.I & X.G Enseignants. [...]

[...] (Récursivité de la factorielle) Pour tout entier n > Exemple 2. 5 = 5 4 Donc on remplace ¡ par ¡ ¡ p ¡ n¡1 p¡1 n¡1 p On multiplie par p l'une des fractions et par ¡ l'autre pour réduire les deux fractions au même dénominateur, n¡1 n¡1 p(n ¡ p¡1 p 1 Sujet S - Correction On peut alors regrouper les deux fractions sur une même barre de fraction, n¡1 n¡1 p¡1 p On factorise à l'aide du facteur commun mis en évidence ci-dessus : n¡1 n¡1 p¡1 p On rappelle que nous souhaitons démontrer que cette quantité vaut n Il ne reste plus qu'à simplifier p + n ¡ p = et par récursivité de la factorielle, n¡1 n¡1 p¡1 p n n p Ce qui vient clôturer notre démonstration. [...]

[...] Le tirage étant sans ordre, chacun de ces tirages peut-être assimilé à deux issues distinctes mais indiscernables, par exemple l'issue B1 et B3 ira respectivement avec B3 et B1; l'ordre n'étant pas discernable. Ainsi nous avons 8 issues favorables à l'évènement A \ B sur un ensemble 8 total de 45 issues. P(A \ = 45 . 1 7 Or comme = 3 et = 15 , 1 7 7 8 On obtient = 3 15 = 45 = On raisonne alors par la contraposée, Comme P(A \ = / alors les évènements A et B ne sont pas indépendants. 2. [...]

[...] Ce qui revient à réoudre une l'inéquation : 1 ¡ 0.7n > 0.99 ¡0.7n > ¡0.01 0.7n 6 0.01 La fonction l n étant strictement croissante sur le passage au logarithme néperien conserve alors le sens de l'inégalité : n ln(0.7 ) 6 ln(0.01) Ce qui permet d'écrire par propriété algébrique de la fonction ln, n ln(0.7) 6 ln(0.01) Attention : Sur l'intervalle l'expression ln(x) est strictement négative. Auqel cas diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité, ln(0.01) > 12.91 ln(0.7) Or le premier entier strictement supérieur à 12.91 est 13, auquel cas le nombre minimal de semaines tels que pn > 0.99 est n = 13 semaines. 2. Déterminons les valeurs que peut prendre la variable X. [...]

[...] D'après la question 1.b) la probabilité qu'en répondant l'élève réponde au questionnaire 32 sans avoir de réponse juste vaut 243 . Chaque élève répond de façon identique, c'est à dire au hasard et les élèves ne s'influencent pas entre-eux. Auquel cas, les réponses d'un élève au questionnaire sont indépendantes des réponses aux questionnaires de ses cammarades. La succession de plusieurs épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est un schéma de Bernoulli, 32 dont les paramètres sont n = 28 (nombre d'élèves) et p = 243 (probabilité de n'avoir aucune réponse exacte). [...]