Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

Extraits

[...] Existe-t-il une infinité de nombres premiers ? A. Si q divise alors il existe un entier c tel que : Par exemple q = 2 et a = 10, nous avons 2 divise 10 Et il existe un c tel que 10 = 2 * ici c = 5 car 10 = 2 * 5 Si q divise alors il existe un entier tel que : Par exemple b = 30, q ne change pas. Nous avons 10 divise 30 et donc il existe un tel que 30 = 2 * ici = 15 Ensuite on remplace a et b par leur valeur, soit q*c pour a et pour b dans l'expression a - puis on factorise par q. [...]

[...] Mais comme nous avons : x = 2*d+1 ici d = 3*5*7*11 x = 3*e+1 ici e = 2*5*7*11 5*f ici f = 2*3*7*11 x = 7*g + 1 x = 11 Nous pouvons affirmer que x n'est pas divisible par 2,3,5,7,11, c'est à dire x n'est divisible par aucun des nombres premiers (notre hypothèse étant qu'il existe 5 nombres premier uniquement). Nous arrivons donc à une contradiction et cela prouve que notre hypothèse de départ est fausse. C'est le principe d'une démonstration par l'absurde. est le plus grand nombre premier et x est supérieur à x n'est donc pas un nombre premier. x est alors divisible par un nombre premier. [...]

[...] Soit a un nombre entier et z un nombre entier premier, nous avons alors : z étant un nombre premier, il appartient à la liste et donc z divise . Comme z divise en utilisant la question nous concluons que z divise x - . x - = donc z divise 1 Or le seul nombre divisant 1 est lui-même et 1 n'est pas premier. z n'est donc pas premier. Nous arrivons à une contradiction, et l'hypothèse de départ est donc fausse. Il existe alors une infinité de nombres premiers. [...]