Devoir corrigé de niveau licence composé de 3 exercices sur les nombres complexes et leurs caractéristiques.
Sommaire
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
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Extraits
[...] Cette valeur vérifie : D'après la question précédente, est continue et varie de à La représentation graphique des points d'affixe dans le plan complexe est donc une droite d'équation En utilisant les propriétés de l'inversion complexe, on en déduit que l'ensemble est un cercle de centre et de rayon auquel il faut enlever l'origine du repère On a : étant une constante complexe, et une constante réelle, on en déduit que l'on a multiplié , dont la représentation graphique est un cercle privé d'un point, par un nombre complexe. On applique donc une homothétie et une rotation au cercle précédent. On obtient ainsi un nouveau cercle, toujours privé d'un point. Avec les valeurs données, on obtient : Ici l'ensemble est donc l'image du cercle de centre et de rayon (privé de l'origine du repère) par l'homothétie de centre O et de rapport On obtient donc un nouveau cercle de centre et de rayon , cercle privé de l'origine du repère. [...]
[...] Nombres complexes Problème 1 est la composée d'une inversion complexe et d'une symétrie d'axe . Par la symétrie d'axe , l'image de D est D elle-même. D étant la droite d'équation , elle est alors transformée en le cercle de centre et de rayon (auquel il faut enlever l'origine du repère) par l'inversion complexe. On a : On en déduit ainsi : et Les points sur D vérifient . On obtient donc : et Soit la conique d'équation : Un point à une image par qui appartient à D si et seulement si On obtient donc la conique d'équation : Problème 2 On a : étant des constantes réelles strictement positives, on en déduit que sur . [...]
[...] Or on a : Ainsi, puisque l'on n'a qu'une partie de la droite d'équation , l'inversion complexe ne va nous donner qu'une partie du cercle décrit ci-dessus. Plus précisément : De la même manière : Les points correspondants à ces 2 affixes sont les extrémités de l'arc de cercle cherché et à colorier. Problème n°3 On a la suite de calculs : La partie réelle vaut donc et la partie imaginaire D'après la question précédente, la partie réelle de sera nulle pour les valeurs et - 1er cas : . [...]
