Fractions, équation, logarithme, factorisation, fonction mathématique, courbe représentative, équation exponentielle, sinus, tangente, trigonométrie, coordonnées cartésiennes, matrices, dérivée, intégrale, suite arithmétique, suite géométrique
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Ce document comprend 10 exercices de mathématiques niveau Licence avec leurs corrections.
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[...] 9.5) On remarque que la série est en fait avec et . On cherche tel que soit puis . Or la somme des premiers termes d'une suite géométrique vaut donc ici . 9.6) On remarque que la série est en fait avec et . La somme de tous ses termes (qui converge car ) vaut . 9.7) Sur la 13ème ligne du triangle de pascal on a les coefficients du binôme avec dans l'intervalle , ainsi la somme vaut . [...]
[...] On a et ainsi le PPCM est . Ainsi, on a : 1.5) On a . On reconnaît . Ainsi on en déduit que . 1.6) On a . 1.7) On a tous les nombres positifs, de plus et . Enfin On a donc finalement l'ordre suivant : . 2.1) On résout l'équation , c'est équivalent à (on suppose Ainsi, . 2.2) Si alors on a . Si alors on a . Ainsi on en déduit que . 2.3) On cherche tel que or on a et de plus . [...]
[...] La courbe admet un unique point d'inflexion en . 10.3) La hauteur atteinte sera de . La vitesse (fonction dérivable sur ) sera . Ainsi, après 25 secondes de vol la vitesse atteinte sera de . 10.4) Les racines de sont et comme la courbe est croissante puis décroissante, ainsi, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses sur ett . On a donc par linéarité de l'intégrale . 10.5) On a ainsi et si à on a alors finalement . Même chose avec . [...]
[...] 5.5) On que l'on obtient équivaut à , on se donc propose de résoudre . On a donc le polynôme admet deux racines réelles distinctes . Ce sont donc aussi les solutions de l'équation étudiée. 6.1) La droite est de la forme et on sait que (abscisse à l'origine). De plus d'après la trigonométrie on a . On a donc et . L'équation de droite est donc . 6.2) On sait que les coordonnées des milieux et de et sont respectivement : Et donc la longueur vaut . [...]
[...] 7.3) On sait que . On a et et . Finalement . 7.4) Si on note l'angle associé au sommet la loi des cosinus s'écrit donc finalement . Prenons arbitrairement , et . On trouve et . L'angle est obtus. 7.5) On a d'après le dessin et . Ainsi, on en déduit alors que et comme on en conclut que la tour mesure alors . 8.1) On a la matrice A est inversible. B n'est pas inversible car non carrée. [...]
