Les probabilités - Sujet de Bac S : groupe II bis (groupes II-III), juin 1996

Extraits

[...] Nous avons donc un schéma de Bernoulli de paramètre n = 10 et p : probabilité de succès. Calculons p : Soit G l'événement obtenir exactement 2 boules blanches lors du tirage Card G : le nombre de possibilité de choisir 2 boules parmi 3 Card le nombre de possibilité de choisir 2 boules parmi 5 La variable aléatoire X qui compte le nombre de fois où on a obtenu exactement 2 boules suit une loi binomiale B (10 ; Ici on cherche soit l'évènement contraire obtenir exactement 0 fois 2 boules blanches lors des 10 tirages c'est-à-dire Question subsidiaire : Calculer la probabilité d'obtenir exactement 4 fois deux boules blanches. [...]

[...] Schéma de loi binomiale : succession d'expérience de Bernoulli identiques et indépendantes Loi binomiale Avec p : probabilités de succès Avec q : probabilités d'échec Le fait de tirer exactement 2 boules est nommé le succès avoir exactement 2 boules blanches est une épreuve de Bernoulli comportant exactement deux issues. S : succès tirer 2 boules blanches S : échec ne pas tirer 2 boules blanches On répète cette épreuve 10 fois en remettant les boules tirées systématiquement dans l'urne. On effectue donc une succession d'épreuve de Bernoulli identiques et indépendant. [...]

[...] Donc X peut prendre les valeurs : X = 3 Sachant que pour déterminer la loi de probabilité il faut que l'on trouve les probabilités obtenir 4 boules blanches événement E : obtenir 0 boules blanche : événement B : obtenir 1 boules blanches : événement C : obtenir 2 boules blanches : événement A : obtenir 3 boules blanches : événement D L'événement C se décompose en deux sous-événements incompatibles 2 à 2 : on tire 1 boule blanche avec 1 boule noire de et 0 boule blanche avec 2 boules noires de : on tire 0 boule blanche avec 2 boules noires de et 1 boule blanche avec 1 boule noire de sont incompatibles est l'ensemble des possibilités de choisir 1 boule blanche parmi 3 avec 1 boule noire parmi 2 de et 0 boule blanche parmi 2 avec 2 boules noires parmi 3 de est l'ensemble des possibilités de choisir 0 boule blanche parmi 3 avec 2 boules noire parmi 2 de et 1 boule blanche parmi 2 avec 1 boule noire parmi 3 de L'événement D se décompose en deux sous-événements incompatibles 2 à 2 : on tire 2 boules blanches avec 0 boule noire de et 1 boule blanche avec 1 boule noires de : on tire 1 boule blanche avec 1 boule noire de et 2 boules blanches avec 2 boules noires de et étant incompatibles on a : est l'ensemble des possibilités de choisir 2 boules blanches parmi 3 avec 0 boule noire parmi 2 de et 1 boule blanche parmi 2 avec 1 boule noire parmi 3 de est l'ensemble des possibilités de choisir 1 boule blanche parmi 3 avec 1 boule noire parmi 2 de et 2 boules blanches parmi 2 avec 0 boule noire parmi 3 de E : on tire 2 boules blanches parmi 3 avec 0 boule noire parmi 2 de et 2 boules blanches parmi 2 avec 0 boule noire parmi 3 de D'où la loi de probabilité suivante : 1 2 3 4 0,03 0,24 0,46 0,24 0,03 Rappel de cours de 1ère S est l'espérance mathématique On a : Le joueur peut espérer toucher en moyenne 2 F et la mise est de 2,50 L'espérance mathématique est inférieure à la mise. Le jeu est pas favorable pour le joueur. On souhaite calculer la probabilité de l'événement sachant que A se réalise A A Rappel sur le schéma de Bernoulli 1ère S Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant exactement 2 issues. [...]

[...] Cet événement se décompose en 3 événements incompatibles 2 à 2. : On a tiré 2 boules blanches avec 0 boule noire de et 0 boule blanche avec 2 boules noires de : On a tiré 1 boules blanches avec 1 boule noire de et 1 boule blanche avec 1 boules noires de : On a tiré 0 boules blanches avec 2 boule noire de et 2 boule blanche avec 0 boules noires de les événements sont incompatibles deux à deux on a Card est l'ensemble des possibilités visant à choisir 2 boules parmi 3 avec 0 boule parmi 2 de et choisir 0 boule parmi 2 avec 2 boules parmi 3 de Card est l'ensemble des possibilités visant à choisir 1 boule parmi 3 avec 1 boule parmi 2 de et choisir 1 boule parmi 2 avec 1 boule parmi 3 de Card revient à calculer l'ensemble des possibilités visant à choisir 0 boule parmi 3 avec 2 boules parmi 2 de et choisir 2 boules parmi 2 avec 0 boule parmi 3 de X désigne la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues. [...]

[...] Les probabilités - Sujet de Bac S : groupe II bis (groupes II-III), juin 1996 Calculons l'ensemble des possibilités de cette expérience aléatoire, c'est-à-dire le nombre d'éléments de l'ensemble ? l'univers soit card On tire simultanément 2 boules de l'urne 1 et 2 boules de l'urne 2 Le tirage dans l'urne est simultané. Il n'y a pas d'ordre ni de répétitions possibles. [...]