Suites et fonctions exponentielles

Extraits

[...] Un+1 ? 0 Montrons que ? Un+1 ? Un+2 ? 0 ? Un ? Un+1 ? 0 Or, la fonction f est strictement croissante sur [ 1 ; 0 ] Donc f ? f(Un) ? f(Un+1) ? On sait que f ? -0,368 et que = 0 Alors -0,368 ? Un+1 ? Un+2 ? 0 Comme -0,368 > on peut alors noter : ? Un+1 ? Un+2 ? 0 Ainsi l'hérédité est vérifiée Conclusion D'après le théorème de récurrence, pour tout n ? N : ? [...]

[...] 1 = 0 possède une seule solution dans R et que celle-ci est strictement supérieure à ½. = x x 3ex = x x (x2ex - = 0 Donc x=0 ou x2ex - 1 = 0 x=0 ou x = ? (avec ? = unique solution de x2ex - 1 = Soit l = soit l = ? Or on sait que l ? 0 : la solution l = ? n'est donc pas possible (l'énoncé indique que ? (solution de l'équation x2ex ? [...]

[...] Ainsi fonc (2) renvoie à la valeur de U2. Comme calculé précédemment, cela correspond à environ -0,034. 2. a. Démontrer que, pour tout x réel, on a = x2ex + 3). Pour tout réel x, on note : =x3ex On identifie alors u = x3 et v = ex On en déduit = 3 x3 et v' = ex Pour tout x appartenant à R : = u'v + u = 3 x3 ex + x3 ex = x3 + x3) ex = x2 ex = x2 ex b. [...]

[...] ; ?3] et strictement croissante sur [?3 ; Limites On complète alors le tableau de variation en étudiant les limites : lim - x3 ex = 0 (par croissances comparées) donc lim + = + ? Extremum Puis en calculant f = = - 27e-3 x - 27e-3 Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel on a : ? Un ? Un+1 ? 0. Pour tout n ? N, on note P(n) : ? Un ? Un+1 ? 0 Initialisation : U0 = et U1 ? -0,368 Donc : ? U0 ? U1 ? 0 P est vérifiée Hérédité Soit n ? on suppose que ?1 ? [...]