Suites et propriétés

Extraits

[...] Suites et propriétés Exercice n°1 Initialisation (cas n = 1) : Nous devons montrer que la propriété est vraie pour n = 1. Calculons et comparons avec On sait que : et Or 1,875 donc la propriété est vérifiée pour n = 1. Hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété est vraie pour un certain n = c'est-à-dire Hérédité (cas n = k Il faut maintenant montrer que la propriété est vraie pour n = k c'est-à-dire D'après la relation de récurrence, on a Utilisons l'hypothèse de récurrence, à savoir , dans cette relation : Calculons : On a donc : Nous savons que : Donc : Ainsi, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n 1. [...]

[...] On souhaite montrer que la suite est décroissante à partir de n = c'est-à-dire que pour tout On sait que : Pour avoir , cela revient à vérifier si : Or, d'après la question on a . Remplaçons Un par cette borne inférieure : Ainsi, l'inégalité est bien vérifiée, et on a donc Exercice n°2 En utilisant la définition de Vn, on a : Remarquons maintenant que : . Pour simplifier Vn+1, utilisons l'expression de Vn pour remplacer Un : On a donc : Nous avons donc montré que Vn est bien une suite géométrique de raison 1/5. [...]