Opérateurs de différence et suites récurrentes linéaires

Extraits

[...] Exercice 2 : étude d'une suite récurrente linéaire du second ordre Montrons par récurrence que . Initialisation : : OK Hérédité : : OK On a donc bien . est donc bien défini pour tout car . Si alors donc . De même donc . On note . Si alors donc en remplaçant : . Montrons par récurrence que . Initialisation : Donc . On a bien . OK Hérédité : On a donc : . On a : d'après donc . Ensuite on a : d'après donc . [...]

[...] Or et donc en faisant tendre vers l'infini on a : d'où . Soit alors on a donc . donc ou . Comme par définition, alors . . Donc la suite converge et a pour limite . D'après on a et . L'équation caractéristique correspondante à est i.e . Les solutions de l'équation sont et . La suite récurrente linéaire a donc pour terme général . donc d'où . Finalement . . On a donc . On en déduit que . [...]

[...] On a donc : OK Hérédité : : OK Une caractérisation des naturels. Soit alors . On a donc en dérivant encore une fois : . Et encore une fois : car et donc . avec d'après la question A)2)c). De même on a Or donc . La suite est donc strictement décroissante. D'après . ; et donc . Si alors ne peut pas être une suite de réels strictement positifs. On a donc une contradiction et l'hypothèse initiale ( n'est pas un entier) est fausse. On a donc . [...]