Comment l'algorithme de Diffie-Hellman permet-il d'échanger secrètement une clé sur un canal non sécurisé ? - Grand oral de Mathématiques
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Thèmes abordés
Algorithme de Diffie-Hellman, cryptographie, échange de clés, modulo, division euclidienne, logarithme discret, racines primitives, méthode de chiffrement, Grand oral
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Aujourd'hui, je vais vous parler d'une méthode de cryptographie qui permet à deux personnes de s'échanger des secrets même quand elles sont en permanence écoutées par un espion. Cet algorithme de Diffie-Hellman paraît assez invraisemblable et, la première fois que j'en ai entendu parler, je me suis dit qu'il était impossible qu'une telle technique puisse exister. Si deux personnes souhaitent s'échanger un message dans le plus grand secret, il suffirait de coder le message. Techniquement, il s'agit d'une opération de chiffrement, mais pour communiquer ainsi, les deux personnes doivent se mettre d'accord sur la clé à utiliser.
Sommaire
Situation initiale
Usage du modulo
Exemple d'illustration
Logarithme discret
Maximiser la protection avec les racines primitives
Limites
Situation initiale
Usage du modulo
Exemple d'illustration
Logarithme discret
Maximiser la protection avec les racines primitives
Limites
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Extraits
[...] Quand on prend un nombre modulo P le résultat est forcément entre 0 et P -1. 0 ? N modulo P ? P - 1 C'est le reste d'une division euclidienne. Si on veut qu'il y ait un maximum de possibilités différentes à tester pour l'espion, il faut déjà prendre P le plus grand possible. Ce n'est pas tout. Il faut aussi bien le choisir et bien choisir le g qui va avec. Illustrons avec un exemple. Prenons P = 15 et g = 4. [...]
[...] On le note a ? b Par exemple ? 3 car 5 et 3 ont le même reste dans la division euclidienne qui est un 1. Si b était compris entre 0 et p - il est alors le reste de la division euclidienne de a par p. On peut écrire 5 ? 1 est positif et strictement inférieur à 2. C'est donc le reste de la division euclidienne de 5 par 2. Revenons à notre situation. Soit ga ? [...]
[...] L'idée de la méthode Diffie-Hellman est de choisir un nombre entier P et un nombre inférieur entier g qu'Anna et Brieuc se communiquent publiquement. De leur côté, Anna choisit un nombre secret a et Brieuc un nombre secret b. a et b sont des entiers naturels inférieurs à P différents de 0. Avec son nombre secret Anna calcule ga modulo P et l'envoie à Brieuc. Brieuc de son côté calcule gb modulo P et l'envoie à Anna. Ensuite chacun applique à ce nombre reçu la puissance de son nombre secret et le prend à nouveau modulo P. [...]
[...] Comment l'algorithme de Diffie-Hellman permet-il d'échanger secrètement une clé sur un canal non sécurisé ? - Grand oral de Mathématiques Introduction Aujourd'hui, je vais vous parler d'une méthode de cryptographie qui permet à deux personnes de s'échanger des secrets même quand elles sont en permanence écoutées par un espion. Cet algorithme de Diffie-Hellman parait assez invraisemblable et la première fois que j'en ai entendu parler, je me suis dit qu'il était impossible qu'une telle technique puisse exister. Si deux personnes souhaitent s'échanger un message dans le plus grand secret, il suffirait de coder le message. [...]
[...] En testant tous les nombres jusqu'à 12, j'ai trouvé que les racines primitives sont uniquement et 11. Donc si on prend g = les puissances de 6 modulo 13 s'étalent bien entre 1 et 12. Avec ces précautions, on a ainsi l'essence de l'algorithme de Diffie - Hellman qui résout donc le problème de la détermination d'une clé de chiffrement commune sur un canal public. Grâce à ce secret partagé, ils pourront ensuite utiliser d'autres méthodes cryptographiques pour déterminer un chiffrement commun afin de communiquer de manière parfaitement chiffrée. [...]
