Analyse vectorielle et algèbre

Extraits

[...] Et comme, d'après la question précédente, l'intégrale impropre est convergente, on en déduit que l'intégrale est convergente comme somme de deux intégrales convergentes. Sur , on a : Soit la fonction définie sur par : . On a : La dérivée est toujours négative donc est décroissante. Comme , on en déduit que est négative sur . Finalement : sur Soit la fonction définie sur par : . On a : La dérivée est toujours négative donc est décroissante. Comme , on en déduit que est négative sur . [...]

[...] Analyse vectorielle et algèbre I. Exercice 2 Pour tout réel , le fonction est continue et strictement positive sur De plus, pour tout réel de on a - Étude en à droite : quand tend vers , est équivalent à . Donc est intégrable sur un voisinage de à droite si et seulement si ce qui est équivalent à - Étude en à gauche : On quand tend vers : Donc est intégrable sur un voisinage de à gauche si et seulement si En conclusion, est intégrable sur si et seulement si II. [...]

[...] On effectue le changement de variable bijectif , soit . On obtient : Puis : On obtient alors : Pour et appartenant à est continue et dérivable sur . De plus, d'après la questions on sur pour appartenant à : On peut donc appliquer l'inégalité des accroissements finis qui nous donne : On obtient : D'après la question précédente, on a : Et finalement : Comme proposé dans l'énoncé, on part de l'inégalité : Comme (d'après l'énoncé), la somme infinie est une valeur réelle finie, on a : De plus : . [...]