Les suites numériques - publié le 29/07/2025

Extraits

[...] - Conclusion : la propriété étant vraie au rang et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel. D'après la question A2) On en déduit : Finalement : On a : Ainsi, en prenant , on pour tout , (en effet la suite est décroissante) Voici l'algorithme à implémenter : tant que faire Retourner n En programmant cet algorithme sur calculatrice, on trouve On sait déjà que la suite est décroissante donc pour tout : Montrons par récurrence sur que est positif pour tout : - Initialisation : - Hérédité : supposons qu'à un certain rang on ait Alors, comme , on a Et donc : - Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier La suite étant décroissante et minorée (par , elle converge. [...]

[...] Les suites numériques Partie A En remplaçant par 1 dans l'égalité de Bernoulli, on obtient : Or, donc Dans la question précédente, nous avons vu que . On a donc : Or d'après la question précédente. On en déduit : Partie B On a pour On obtient ainsi le tableau de variations suivant : On a : La suite est donc décroissante. [...]